Perguntas milenares - A matemática é uma ideia nossa ou da própria realidade?

 A irmandade secreta que moldou a matemática

Na Grécia Antiga, um grupo misterioso chamado os mathematikoi revolucionou a forma como entendemos os números. Fundado por Pitágoras por volta de 530 a.C., não se tratava apenas de uma reunião de matemáticos - era uma irmandade secreta que acreditava que os números eram a chave para desvendar os mistérios mais profundos do universo.

Os mathematikoi viviam em comunidade, seguindo regras estritas e partilhando as suas descobertas matemáticas apenas com os membros iniciados. Viam padrões sagrados em todo o lado: na música, na natureza, na poesia e nas estrelas. Para eles, a matemática não era apenas uma ferramenta de cálculo - era a linguagem da própria realidade.

Mas a sua devoção aos números puros e racionais enfrentou uma crise quando descobriram algo que abalou as suas crenças até ao âmago: os números irracionais. Diz a lenda que, quando Hippasus provou que a raiz quadrada de 2 não podia ser expressa como uma simples fração, causou uma tal perturbação na irmandade que teve um fim trágico.

Embora não possamos verificar os pormenores do destino de Hippasus, sabemos que a descoberta dos números irracionais desafiou profundamente a visão do mundo dos mathematikoi. Eles acreditavam que tudo na natureza podia ser expresso através de razões simples de números inteiros. Esta descoberta provou que estavam errados.

A influência dos mathematikoi estende-se muito para além da Grécia antiga. O seu trabalho lançou as bases da geometria, da teoria musical e da matemática moderna. Ainda hoje, a sua tentativa de encontrar padrões matemáticos na natureza continua a inspirar cientistas e matemáticos de todo o mundo

Sick History 

Quem tem razão não sei

 

Apenas constato que de há uns anos para cá é normal ter alunos no 10º ano, em turmas de ciências ou de economia, que nunca tiveram uma positiva a matemática em todo o seu percurso escolar. Não acho isto normal.

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Portugal já não é um caso de sucesso na aprendizagem da Matemática e é agora um exemplo de como se pode piorar. Avaliação internacional revela que estamos a cair a pique desde 2015 e que a culpa não é da pandemia mas sim de opções políticas.

Para Joaquim Dias, da Associação de Professores de Matemática estes resultados «estão em linha com o que aconteceu em quase todo o mundo, não há aí nada de especial». Segundo este professor, são uma consequência das alterações feitas na altura do ministro Nuno Crato entre 2013 e 2015 «que tornaram os planos de Matemática muito formalistas e que levaram a quedas sucessivas». As introduções feitas depois «não aparecem imediatamente», defende. São elas as aprendizagens essenciais que só em 2021 vieram substituir as metas estabelecidas pelo Governo de Passos Coelho.

O que é preciso agora é que «nos deem tempo para pôr em prática o que é preconizado nas novas aprendizagens essenciais, que é um ensino por tarefas, valorização do raciocínio, a resolução de problemas, o uso sistemático de tecnologia. Isso vai trazer os seus frutos conforme todos os estudos científicos e empíricos têm mostrado». Joaquim Dias afirma que outro eixo fundamental para quebrar este ciclo é «o acompanhamento aos professores que estão a lecionar no terreno e que deve ser retomado e que acabou com Nuno Crato». Quanto a alterações nos currículo, é um tema que está fora de questão e garante que tem esse compromisso do Governo. «Não se vai mexer num currículo que começou agora».

Para Isabel Hormingo, da Sociedade Portuguesa da Matemática, a pioria dos resultados do 8.º ano em 25 pontos «não encontra paralelo entre os restantes países europeus» e que as quedas não se podem atribuir à pandemia «uma vez que não estão em linha com as variações observadas na maioria dos outros países». Outro sinal de alarme é o fato de estarmos «progressivamente a aumentar o número de alunos sem conhecimentos mínimos», tanto no 8.º como no 4.º ano. Para a SPM as causas para esta tendência negativa na aprendizagem da Matemática são as decisões políticas como «a abolição de provas finais de 4.º e 6.º ano, mudanças curriculares radicais que desvalorizam o conhecimento, a interrupção de horas de crédito nas escolas – que dificultaram o apoio a estudantes com dificuldades – do apoio ao estudo obrigatório e a suspensão da avaliação de manuais escolares a meio de ciclos avaliativos». Não tem qualquer dúvida de quem é a responsabilidade. «Em todos os estudos PISA e TIMSS, após 2015, (cinco estudos) verificámos tombos, a avaliação sobre as políticas dos últimos 9 anos já está feita».
Para reverter a tendência de decréscimo reclama «um currículo rico em conhecimento, uma avaliação externa nos finais de ciclo que implique responsabilização dos alunos, um apoio eficiente aos alunos, uma avaliação de manuais escolares eficaz», garante.

https://ionline.sapo.pt/2024/12/06/alunos-do-8-o-ano-perderam-dois-anos-de-aprendizagem/

Magia matemática

 

Orion alinhada com as pirâmides do Egipto.

nasa

Matemática do Antigo Egipto

Egypt Museum - Completo do Templo de Karnak - Hieróglifos numerais. [a associação do Egipto às pirâmides é tão forte que esperava que um dos símbolos da aritmética fosse uma pirâmide... ou um escaravelho...]

Os egípcios usavam um pau | para 1, dois || para 2 e assim sucessivamente. Este símbolo ∩∩ para 10 e outros símbolos para representar grandezas de 10 até um milhão. 

As fracções eram representadas assim:

As razões de se mudar o programa de matemática?

Neste artigo defende-se que a álgebra é difícil para a maioria dos estudantes e que impede que sigam os seus sonhos e que por isso pode muito bem acabar-se com ela ou ensinar estatística em vez de álgebra. O autor do artigo queixa-se que quando era novo não foi para veterinária ou engenharia porque não conseguia fazer a matemática e que por isso se deve acabar com a matemática difícil, pois esmaga os sonhos das pessoas - soul-crushing é o termo que usa. Dá como exemplo um ex-reitor da universidade de Berkeley que defende uma matemática diferente. 

A questão é: esse reitor defende um ensino diferente de matemática para quem não está nas STEM (Science, Technology, Engineering, and Mathematics), não para pessoas que sonham ser engenheiros mas não têm o talento ou a capacidade para a matemática necessária. O conhecimento não tem que ver com equidade. Eu gostava muito de saber pintar como o Ruisdael, mas não tenho esse talento nem essa capacidade. Gostava de saber perceber a física e a química do ponto de vista da matemática, mas não tenho essa capacidade. Isso não me diminui em nada. Uma universidade não é um local de conforto psicológico ou de realização de desejos, mas um local de avanço do conhecimento.

Uma coisa é defender uma mudança no modo de ensinar matemática (aqui no país é o descalabro porque não há professores e daqui para a frente qualquer um vai dar matemática); defender, como eu mesma defendo, que haja um program de matemática para os que querem seguir cursos de ciências que dão acesso a engenharia, medicina e certas áreas tecnológicas e outro program para quem quer outras coisas que não exijam essa matemática. Aliás, já foi assim. Em tempos havia Matemática A e Matemática B consoante as áreas que os alunos escolhiam no secundário. 

Outra coisa muito diferente é reduzir o ensino da matemática ao menor denominador comum para os alunos sentirem que são todos um sucesso. Isso é uma fraude e no geral, baixa o nível de conhecimento, do progresso científico e melhoria de vida a que nos habituámos.

Dito de outra maneira, quero atravessar a ponte confiante que o engenheiro soube fazer a matemática necessária e não foi ensinado por alguém que teve umas cadeiras de estatística na faculdade.

Outro dia Borrel fez um discurso numa reunião na UE que pus aqui no blog. Ele enumera correctamente os problemas com que nos enfrentamos, mas depois oferece como soluções: não sermos, nós europeus, racionalistas (não sermos kantianos, diz), sermos mais emocionais, ter muita empatia e ouvir os outros povos. Não sou contra a empatia ou ouvir outros povos, pelo contrário, mas desde quando abandonar o pensamento e a racionalidade ajuda a resolver problemas? E quem lhe disse a ele que os outros povos não europeus não são racionais? O facto de se terem cometido 'pecados' de excesso de confiança na razão não torna razoável que se abandone a racionalidade.

Da mesma maneira, o facto de o ensino da matemática não ser fácil e de haver excesso de matemática em todas as áreas dos estudos secundários (excepto humanidades), não torna razoável adulterar o programa apenas para que todos os alunos possam dizer que têm sucesso e se sintam bem consigo mesmos.

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Os estudantes precisam de mais exposição à forma como as coisas do dia-a-dia funcionam e são feitas. Em nenhum outro lugar isto é mais óbvio do que no ensino da matemática, onde persistimos numa abordagem rígida que recompensa aqueles que "o conseguem" e deixa os outros - incluindo aqueles com o tipo de mentes que a nossa economia e o nosso futuro mais desesperadamente necessitam - com uma sensação de profundo fracasso.

Há uma década, um artigo do cientista político Andrew Hacker, Is Algebra Necessary?, aterrou como uma bomba no mundo da educação. Hacker assaltou a insistência de ensinar álgebra nas escolas, salientando que a matemática ali ensinada não era nada como a que as pessoas usam nos seus trabalhos. "Tornar a matemática obrigatória", escreveu Hacker, "impede-nos de descobrir e desenvolver jovens talentos". No interesse de manter.
(...)
A ironia nunca se perdeu em mim: ensino ciência animal em veterinária, mas não consegui entrar na escola veterinária como estudante, porque não consegui fazer a matemática. Na faculdade, tive de abandonar um curso de física e de engenharia biomédica. Isto fez-me sair da escola de veterinária e engenharia. Tive de escolher licenciaturas com requisitos de matemática mais baixos, tais como psicologia e ciência animal, e recebi tutoria para me ajudar a passar. 

Hoje em dia, mesmo essas portas estariam fechadas para mim, porque esses graus têm agora requisitos matemáticos ainda mais elevados. Recebi recentemente um e-mail de um estudante que me informou que tinha de fazer cálculo para a sua licenciatura em biologia. A biologia era o meu tema favorito, mas nunca teria ultrapassado essa barreira.
(...)
Mais especialistas em educação parecem finalmente questionar porque é que, como disse Hacker, "pensamos na matemática como um enorme pedregulho que fazemos todos puxar, sem avaliar o que toda esta dor alcança". 

Christopher Edley Jr., por exemplo, está numa missão para mover a rocha. Antigo reitor da Faculdade de Direito da UC Berkeley, Edley quer colmatar o fosso de equidade e aumentar as taxas de graduação, eliminando os requisitos de álgebra para os estudantes que não estão numa STEM, observando que tais requisitos são "largamente arbitrários". 

Dos 170.000 estudantes universitários da comunidade da Califórnia que são colocados em matemática correctiva com base num teste padronizado, mais de 110.000 não completarão os requisitos para obter um diploma de associado ou transferência para a Universidade da Califórnia ou para a Universidade do Estado da Califórnia. Um programa piloto na California State University que permite aos estudantes substituir uma série de cursos de estatística por álgebra, mostrou que as taxas de conclusão das aulas de matemática aumentam quando a álgebra não é necessária.

Temple Grandin - theatlantic/against-algebra

"(...)a matemática é a poesia da ciência!"

 

« Je vois une très forte analogie [des mathématiques] avec la poésie qui recrée un monde, à la fois imaginaire et plus vrai que nature, sur la base d’impressions sensibles, d’intuitions et de règles propres, parfois très strictes comme la versification classique. »    (Cédric Villani)

A propósito da atribuição da medalha Fields, a Philomag publica uma entrevista com Cédric Villani, um dos maiores matemáticos contemporâneos e ele mesmo detentor de uma medalha Fields. Cédric Villani tem aquela dupla característica de alguns grandes pensadores que é sentirem uma grande paixão pelo conhecimento da sua, e de outras, áreas científicas e serem capazes de traduzir a ciência e os seus conceitos numa linguagem iluminadora para leigos. Uma entrevista breve, mas muito boa. Para todos que se interessam pela compreensão da realidade.

Cédric Villani em entrevista a  Charles Perragin - www.philomag


Juntamente com os Estados Unidos, a França é o país mais premiado do mundo em Matemática. Somos uma civilização matemática?

Cédric Villani: As ciências matemáticas são demasiado universais para serem monopolizadas por qualquer país ou cultura, demasiado plurais para serem encaixotadas em caixas bem definidas. Hugo Duminil-Copin trabalha em física estatística com um formalismo probabilístico, e está particularmente interessado no magnetismo. É muito particular e, no entanto, representativo de muitos fenómenos! A probabilidade é um campo matemático entre muitos outros. Outros investigadores trabalham em álgebra, geometria, análise, lógica... Cada um destes campos tem subcampos que estão em constante evolução, e as motivações são diversas. Tal como na filosofia ou pintura, existem muitas tradições histórica e culturalmente determinadas. Tal como havia a escola de Caravaggio no século XVII, hoje temos a escola parisiense da probabilidade, conhecida por ter desenvolvido esta teoria ou aquela ferramenta... Entre os quatro laureados deste ano, Maryna Viazovska especializou-se na análise harmónica, em ligação com a geometria das redes; ela resolveu o problema do empilhamento de esferas nas dimensões oito e vinte e quatro. O trabalho de June Huh está em geometria algébrica, onde tudo se segue de curvas e equações algébricas. O quarto vencedor, James Maynard, conseguiu fazer recuar os limites do que é conhecido na distribuição de números primos, o que continua a ser um grande mistério matemático. Em todas estas línguas, objectivos, culturas e países, os matemáticos fazem contudo parte da mesma história secular. Após Leibniz, Newton ou Fermat, perguntam a si próprios quais são as leis matemáticas que governam a natureza, os números e as formas.

Trabalhou em termodinâmica. O Duminil-Copin trabalhou na percolação. O que o torna diferente dos físicos?

Cédric Villani: Há o mundo físico, explorado por experiências, onde os modelos procuram prever o comportamento real. Há o mundo matemático, onde as regras das equações e a lógica nos permitem trabalhar no mundo abstracto do modelo, um mundo onde fingimos que as experiências não existem. As fronteiras são porosas: se os matemáticos usam por vezes experiências para ganhar intuição matemática, os físicos usam muito frequentemente ferramentas matemáticas, com mais ou menos rigor. Quer estudado com intuição física ou com ferramentas matemáticas sofisticadas, o conceito central é o do modelo: um modelo reduzido, um projecto do mundo feito de algumas regras e axiomas básicos, destinado a concentrar-se num aspecto muito pequeno da realidade. Em honra do Duminil-Copin, tomemos o exemplo de um problema de mudança de fase. Dependendo da temperatura e pressão, a água é sólida, líquida ou gasosa: sabemos isto por experiência, e estudamos os parâmetros desta mudança de estado em física. Agora vejamos isto do ponto de vista de um matemático que quer compreender porque é que esta mudança de estado ocorre. Esquecemos a física, esquecemos que estes diferentes estados existem, queremos ler este fenómeno de mudança de estado apenas nos princípios fundamentais. Começamos com este esboço: um conjunto de unidades chamadas moléculas, cujos movimentos são descritos por equações dependendo de variáveis tais como a quantidade média de moléculas num determinado volume, que é uma função da temperatura. Por isso nos perguntamos: à medida que aumentamos a temperatura do sistema, como evoluem as propriedades macroscópicas do nosso conjunto de partículas? Por outras palavras, sem qualquer conhecimento a priori para além das leis microscópicas da física, podemos prever que a água irá mudar a sua natureza a uma determinada temperatura? Não é bem assim. Se fosse um ser microscópico, banhado no meio de moléculas, teria dificuldade em saber se estava em líquido ou gás: afinal de contas, são as mesmas moléculas. Mas para um ser macroscópico, as propriedades das interacções com este fluido são muito diferentes. Pode-se ingenuamente pensar que existe uma continuidade de estados a nível macroscópico dependendo da temperatura: muito gasoso, fracamente gasoso, semi-líquido, etc. Mas isto não é o que pensamos. Mas não é isto que observamos. É binário: para uma variação progressiva dos parâmetros, mudamos de estado abruptamente. Assim, o fenómeno da água a ferver, familiar a uma criança de dez anos, continua a ser um grande problema para a comunidade matemática.

Mas não será aqui o objectivo de compreender na evaporação da água, a própria evaporação, independentemente do líquido considerado?

Cédric Villani: Absolutamente. Duminil-Copin, para continuar com o seu exemplo, estava interessado noutra transição de fase: quando um íman é aquecido, a partir de uma certa temperatura, o íman perde a sua atracção magnética. Também aqui, a questão é: podemos prever esta súbita alteração das propriedades com base na organização da matéria? Bem, está longe de ser óbvio!

Compreendemos que ao reduzir o mundo físico ao seu estrato mais fundamental, as equações das interacções microscópicas, as propriedades mais familiares tornam-se incompreensíveis.

Cédric Villani: Em todo o caso, é mais difícil do que parece. É preciso dizer que se trata de um empreendimento muito ambicioso. Faz parte de um grande programa nascido ao mesmo tempo que a física atómica no final do século XIX e formalizado por David Hilbert no Congresso Internacional de Matemáticos em 1900 em Paris. Como podemos deduzir, a partir das propriedades microscópicas da matéria tomada como axioma, as propriedades macroscópicas emergentes, familiares como conclusões? E porque não todas as propriedades da mecânica clássica, mecânica dos fluidos estatísticos, etc.? Até onde podemos ir desde a escala mais pequena? Desde Euclides, dotámo-nos de regras elementares para estabelecer leis mais complicadas, e perguntamo-nos qual é o conjunto mínimo de axiomas que nos permite deduzir tudo o resto. Mas em física matemática, em física teórica, gostaríamos de ter a mesma abordagem. A partir da descrição das forças fundamentais, podemos estabelecer as leis da termodinâmica, mecânica dos fluidos, fricção ou a forma como uma folha de papel se desmorona?

 

Excepto que o formalismo matemático seria o horizonte final, o palco metafísico primordial do qual o mundo, tal como nós o experimentamos, deveria fluir?

Cédric Villani: Sim... um horizonte final e uma tarefa impossível na prática. Se a fervura familiar ainda é um problema em aberto, imagine a tarefa mais que hercúlea de estabelecer o conjunto de regras do mundo. Não é que o caminho seja longo, mas sim que o horizonte está tão distante que é inimaginável. Não devemos pensar que existe hoje um quadro geral com alguns buracos que ainda têm de ser preenchidos. Digamos antes que existem alguns arquipélagos de conhecimento num oceano do desconhecido. Este majestoso e quase hierático programa de um esboço matemático fundamental do mundo é demasiado ambicioso para ser considerado como um roteiro. Procuramos apenas alguns vislumbres, algumas reflexões...

Portanto, não se pensa que a matemática seja a linguagem da natureza a ser decifrada.

Cédric Villani: As ciências matemáticas são talvez o esqueleto do nosso mundo, esta é uma concepção generalizada e eu subscrevo-a de bom grado. Mas o que é certo é que são uma caricatura da mesma - a sua sombra, o seu reflexo. Tomemos o conceito da linha infinita. É fundamental para a geometria. No entanto, na natureza, não existe uma linha recta perfeita, pura e infinita. É uma idealização. Temos apenas aproximações imperfeitas à nossa volta. A conceptualização dos átomos, o spin ferromagnético que é a base do trabalho de Hugo Duminil-Copin, todos estes objectos são caricaturas de realidades complexas e contraditórias, elusivas como tal. A matemática que manipulamos é um modelo de escala altamente simplificado, um pequeno jogo infantil ao lado da realidade. E o mais maravilhoso de tudo é que através deste jogo infantil conseguimos obter conclusões reais que são inacessíveis à intuição. Por exemplo, a natureza atómica do mundo não foi observada pela primeira vez, mas descoberta com base em cálculos físicos e matemáticos, a partir de observações muito indirectas, tais como o movimento de pequenos objectos na água. Os buracos negros eram no início apenas objectos matemáticos implicados pelas equações da teoria da relatividade geral, muito antes de serem observados. O mesmo se aplica ao bosão Higgs. No estudo matemático dos fenómenos físicos, descobrimos, portanto, muito mais do que está embutido neles. É um formalismo da imaginação que nos permite frequentemente adivinhar o que é temporariamente inacessível à intuição e à experiência.

Temporariamente ou, em alguns casos, para sempre inacessível ao nosso bom senso. O matemático começa com problemas de azulejaria de formas geométricas numa superfície e acaba por trabalhar no empilhamento de vinte e quatro esferas dimensionais...

Cédric Villani: Não creio que isto seja específico da nossa disciplina. Em biologia, podemos perguntar-nos se existem formas de vida que não se baseiam na matéria orgânica tal como a conhecemos. Em física, pode-se perguntar como seria um universo baseado noutros parâmetros ou um fluido que flui em oito dimensões. A matemática proporciona um formalismo que transforma ou amplia conceitos, objectos ou propriedades para imaginar outros mundos: alguns acabam por produzir realidade e outros ainda permanecem totalmente abstractos. As redes de esferas em dimensão vinte e quatro, por muito esquivas que sejam ao nosso bom senso, são cuidadosamente observadas por peritos informáticos pelas suas potenciais aplicações a códigos correctores de erros... Inversamente, há investigação sobre conjuntos de números com propriedades muito estranhas que hoje em dia não têm aplicação concreta.


A matemática lida com o mundo tanto quanto o transcende, como uma arte no final?

Cédric Villani: As três qualidades cardeais de um matemático são imaginação, tenacidade e rigor. Nesta ordem. A imaginação é a qualidade mais importante.Vejo uma analogia muito forte com a poesia, que recria um mundo, simultaneamente imaginário e mais verdadeiro do que a natureza, com base em impressões sensíveis, intuições e regras próprias, por vezes muito estritas como a versificação clássica. Como disse Léopold Sédar Senghor, a matemática é a poesia da ciência!

Paisagens fractais para relaxar

 

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