« Je vois une très forte analogie [des mathématiques] avec la poésie qui recrée un monde, à la fois imaginaire et plus vrai que nature, sur la base d’impressions sensibles, d’intuitions et de règles propres, parfois très strictes comme la versification classique. » (Cédric Villani)
A propósito da atribuição da medalha Fields, a Philomag publica uma entrevista com Cédric Villani, um dos maiores matemáticos contemporâneos e ele mesmo detentor de uma medalha Fields. Cédric Villani tem aquela dupla característica de alguns grandes pensadores que é sentirem uma grande paixão pelo conhecimento da sua, e de outras, áreas científicas e serem capazes de traduzir a ciência e os seus conceitos numa linguagem iluminadora para leigos. Uma entrevista breve, mas muito boa. Para todos que se interessam pela compreensão da realidade.
Cédric Villani em entrevista a Charles Perragin - www.philomag
Juntamente com os Estados Unidos, a França é o país mais premiado do mundo em Matemática. Somos uma civilização matemática?
Cédric Villani: As ciências matemáticas são demasiado universais para serem monopolizadas por qualquer país ou cultura, demasiado plurais para serem encaixotadas em caixas bem definidas. Hugo Duminil-Copin trabalha em física estatística com um formalismo probabilístico, e está particularmente interessado no magnetismo. É muito particular e, no entanto, representativo de muitos fenómenos! A probabilidade é um campo matemático entre muitos outros. Outros investigadores trabalham em álgebra, geometria, análise, lógica... Cada um destes campos tem subcampos que estão em constante evolução, e as motivações são diversas. Tal como na filosofia ou pintura, existem muitas tradições histórica e culturalmente determinadas. Tal como havia a escola de Caravaggio no século XVII, hoje temos a escola parisiense da probabilidade, conhecida por ter desenvolvido esta teoria ou aquela ferramenta... Entre os quatro laureados deste ano, Maryna Viazovska especializou-se na análise harmónica, em ligação com a geometria das redes; ela resolveu o problema do empilhamento de esferas nas dimensões oito e vinte e quatro. O trabalho de June Huh está em geometria algébrica, onde tudo se segue de curvas e equações algébricas. O quarto vencedor, James Maynard, conseguiu fazer recuar os limites do que é conhecido na distribuição de números primos, o que continua a ser um grande mistério matemático. Em todas estas línguas, objectivos, culturas e países, os matemáticos fazem contudo parte da mesma história secular. Após Leibniz, Newton ou Fermat, perguntam a si próprios quais são as leis matemáticas que governam a natureza, os números e as formas.
Trabalhou em termodinâmica. O Duminil-Copin trabalhou na percolação. O que o torna diferente dos físicos?
Cédric Villani: Há o mundo físico, explorado por experiências, onde os modelos procuram prever o comportamento real. Há o mundo matemático, onde as regras das equações e a lógica nos permitem trabalhar no mundo abstracto do modelo, um mundo onde fingimos que as experiências não existem. As fronteiras são porosas: se os matemáticos usam por vezes experiências para ganhar intuição matemática, os físicos usam muito frequentemente ferramentas matemáticas, com mais ou menos rigor. Quer estudado com intuição física ou com ferramentas matemáticas sofisticadas, o conceito central é o do modelo: um modelo reduzido, um projecto do mundo feito de algumas regras e axiomas básicos, destinado a concentrar-se num aspecto muito pequeno da realidade. Em honra do Duminil-Copin, tomemos o exemplo de um problema de mudança de fase. Dependendo da temperatura e pressão, a água é sólida, líquida ou gasosa: sabemos isto por experiência, e estudamos os parâmetros desta mudança de estado em física. Agora vejamos isto do ponto de vista de um matemático que quer compreender porque é que esta mudança de estado ocorre. Esquecemos a física, esquecemos que estes diferentes estados existem, queremos ler este fenómeno de mudança de estado apenas nos princípios fundamentais. Começamos com este esboço: um conjunto de unidades chamadas moléculas, cujos movimentos são descritos por equações dependendo de variáveis tais como a quantidade média de moléculas num determinado volume, que é uma função da temperatura. Por isso nos perguntamos: à medida que aumentamos a temperatura do sistema, como evoluem as propriedades macroscópicas do nosso conjunto de partículas? Por outras palavras, sem qualquer conhecimento a priori para além das leis microscópicas da física, podemos prever que a água irá mudar a sua natureza a uma determinada temperatura? Não é bem assim. Se fosse um ser microscópico, banhado no meio de moléculas, teria dificuldade em saber se estava em líquido ou gás: afinal de contas, são as mesmas moléculas. Mas para um ser macroscópico, as propriedades das interacções com este fluido são muito diferentes. Pode-se ingenuamente pensar que existe uma continuidade de estados a nível macroscópico dependendo da temperatura: muito gasoso, fracamente gasoso, semi-líquido, etc. Mas isto não é o que pensamos. Mas não é isto que observamos. É binário: para uma variação progressiva dos parâmetros, mudamos de estado abruptamente. Assim, o fenómeno da água a ferver, familiar a uma criança de dez anos, continua a ser um grande problema para a comunidade matemática.
Mas não será aqui o objectivo de compreender na evaporação da água, a própria evaporação, independentemente do líquido considerado?
Cédric Villani: Absolutamente. Duminil-Copin, para continuar com o seu exemplo, estava interessado noutra transição de fase: quando um íman é aquecido, a partir de uma certa temperatura, o íman perde a sua atracção magnética. Também aqui, a questão é: podemos prever esta súbita alteração das propriedades com base na organização da matéria? Bem, está longe de ser óbvio!
Compreendemos que ao reduzir o mundo físico ao seu estrato mais fundamental, as equações das interacções microscópicas, as propriedades mais familiares tornam-se incompreensíveis.
Cédric Villani: Em todo o caso, é mais difícil do que parece. É preciso dizer que se trata de um empreendimento muito ambicioso. Faz parte de um grande programa nascido ao mesmo tempo que a física atómica no final do século XIX e formalizado por David Hilbert no Congresso Internacional de Matemáticos em 1900 em Paris. Como podemos deduzir, a partir das propriedades microscópicas da matéria tomada como axioma, as propriedades macroscópicas emergentes, familiares como conclusões? E porque não todas as propriedades da mecânica clássica, mecânica dos fluidos estatísticos, etc.? Até onde podemos ir desde a escala mais pequena? Desde Euclides, dotámo-nos de regras elementares para estabelecer leis mais complicadas, e perguntamo-nos qual é o conjunto mínimo de axiomas que nos permite deduzir tudo o resto. Mas em física matemática, em física teórica, gostaríamos de ter a mesma abordagem. A partir da descrição das forças fundamentais, podemos estabelecer as leis da termodinâmica, mecânica dos fluidos, fricção ou a forma como uma folha de papel se desmorona?
Excepto que o formalismo matemático seria o horizonte final, o palco metafísico primordial do qual o mundo, tal como nós o experimentamos, deveria fluir?
Cédric Villani: Sim... um horizonte final e uma tarefa impossível na prática. Se a fervura familiar ainda é um problema em aberto, imagine a tarefa mais que hercúlea de estabelecer o conjunto de regras do mundo. Não é que o caminho seja longo, mas sim que o horizonte está tão distante que é inimaginável. Não devemos pensar que existe hoje um quadro geral com alguns buracos que ainda têm de ser preenchidos. Digamos antes que existem alguns arquipélagos de conhecimento num oceano do desconhecido. Este majestoso e quase hierático programa de um esboço matemático fundamental do mundo é demasiado ambicioso para ser considerado como um roteiro. Procuramos apenas alguns vislumbres, algumas reflexões...
Portanto, não se pensa que a matemática seja a linguagem da natureza a ser decifrada.
Cédric Villani: As ciências matemáticas são talvez o esqueleto do nosso mundo, esta é uma concepção generalizada e eu subscrevo-a de bom grado. Mas o que é certo é que são uma caricatura da mesma - a sua sombra, o seu reflexo. Tomemos o conceito da linha infinita. É fundamental para a geometria. No entanto, na natureza, não existe uma linha recta perfeita, pura e infinita. É uma idealização. Temos apenas aproximações imperfeitas à nossa volta. A conceptualização dos átomos, o spin ferromagnético que é a base do trabalho de Hugo Duminil-Copin, todos estes objectos são caricaturas de realidades complexas e contraditórias, elusivas como tal. A matemática que manipulamos é um modelo de escala altamente simplificado, um pequeno jogo infantil ao lado da realidade. E o mais maravilhoso de tudo é que através deste jogo infantil conseguimos obter conclusões reais que são inacessíveis à intuição. Por exemplo, a natureza atómica do mundo não foi observada pela primeira vez, mas descoberta com base em cálculos físicos e matemáticos, a partir de observações muito indirectas, tais como o movimento de pequenos objectos na água. Os buracos negros eram no início apenas objectos matemáticos implicados pelas equações da teoria da relatividade geral, muito antes de serem observados. O mesmo se aplica ao bosão Higgs. No estudo matemático dos fenómenos físicos, descobrimos, portanto, muito mais do que está embutido neles. É um formalismo da imaginação que nos permite frequentemente adivinhar o que é temporariamente inacessível à intuição e à experiência.
Temporariamente ou, em alguns casos, para sempre inacessível ao nosso bom senso. O matemático começa com problemas de azulejaria de formas geométricas numa superfície e acaba por trabalhar no empilhamento de vinte e quatro esferas dimensionais...
Cédric Villani: Não creio que isto seja específico da nossa disciplina. Em biologia, podemos perguntar-nos se existem formas de vida que não se baseiam na matéria orgânica tal como a conhecemos. Em física, pode-se perguntar como seria um universo baseado noutros parâmetros ou um fluido que flui em oito dimensões. A matemática proporciona um formalismo que transforma ou amplia conceitos, objectos ou propriedades para imaginar outros mundos: alguns acabam por produzir realidade e outros ainda permanecem totalmente abstractos. As redes de esferas em dimensão vinte e quatro, por muito esquivas que sejam ao nosso bom senso, são cuidadosamente observadas por peritos informáticos pelas suas potenciais aplicações a códigos correctores de erros... Inversamente, há investigação sobre conjuntos de números com propriedades muito estranhas que hoje em dia não têm aplicação concreta.
A matemática lida com o mundo tanto quanto o transcende, como uma arte no final?
Cédric Villani: As três qualidades cardeais de um matemático são imaginação, tenacidade e rigor. Nesta ordem. A imaginação é a qualidade mais importante.Vejo uma analogia muito forte com a poesia, que recria um mundo, simultaneamente imaginário e mais verdadeiro do que a natureza, com base em impressões sensíveis, intuições e regras próprias, por vezes muito estritas como a versificação clássica. Como disse Léopold Sédar Senghor, a matemática é a poesia da ciência!
