Este texto é um bocadinho grande e há duas ou três passagens mais técnicas que terei de ler outra vez depois de pesquisar um pouco, mas é muito interessante.
Os números imaginários são reais
Estes valores estranhos foram há muito descartados como escrituração contabilística. Agora os físicos estão a provar que descrevem a forma oculta da natureza
Muitos estudantes de ciências podem imaginar uma bola a rolar por uma colina ou um carro a derrapar devido à fricção como exemplos prototípicos dos sistemas com os quais os físicos se preocupam. Mas grande parte da física moderna consiste na procura de objectos e fenómenos que são virtualmente invisíveis: os minúsculos electrões da física quântica e as partículas escondidas dentro de metais estranhos da ciência dos materiais, juntamente com os seus equivalentes altamente energéticos que só existem brevemente dentro de colididores de partículas gigantes.
Na sua busca para compreender estes blocos de construção escondidos da realidade, os cientistas procuraram as teorias matemáticas e o formalismo. Idealmente, uma observação experimental inesperada leva um físico a uma nova teoria matemática, e depois um trabalho matemático sobre essa teoria leva-os a novas experiências e novas observações. Uma parte deste processo acontece inevitavelmente na mente do físico, onde símbolos e números ajudam a tornar visíveis ideias teóricas invisíveis no mundo físico tangível e mensurável.
Por vezes, contudo, como no caso dos números imaginários - ou seja, números com valores quadráticos negativos - a matemática consegue manter-se à frente das experiências durante muito tempo. Embora os números imaginários tenham sido parte integrante da teoria quântica desde o seu início nos anos 20, os cientistas só recentemente conseguiram encontrar as suas assinaturas físicas em experiências e provar empiricamente a sua necessidade.
Em Dezembro de 2021 e Janeiro de 2022, duas equipas de físicos, uma das quais uma colaboração internacional incluindo investigadores do Instituto de Óptica Quântica e Informação Quântica de Viena e da Universidade de Ciência e Tecnologia do Sul da China, e a outra liderada por cientistas da Universidade de Ciência e Tecnologia da China (USTC), mostraram que uma versão da mecânica quântica desprovida de números imaginários conduz a uma descrição defeituosa da natureza. Um mês antes, investigadores da Universidade da Califórnia, Santa Bárbara, reconstruíram uma função de onda quântica, outra quantidade que não pode ser totalmente descrita por números reais, a partir de dados experimentais. Em qualquer um dos casos, os físicos enganaram o mundo muito real que estudam para revelar propriedades outrora tão invisíveis a ponto de serem denominadas imaginárias.
Para a maioria das pessoas, a ideia de um número tem uma associação com a contagem. O número cinco pode lembrar a alguém os dedos na mão, que as crianças usam frequentemente como ajuda na contagem, enquanto que 12 pode fazê-lo pensar em comprar ovos. Durante décadas, os cientistas sustentam que alguns animais também utilizam números, exactamente porque muitas espécies, tais como chimpanzés ou golfinhos, desempenham bem em experiências que exigem a sua contagem.
A contagem tem os seus limites: apenas nos permite formular os chamados números naturais. Mas, desde os tempos antigos, os matemáticos sabem que também existem outros tipos de números. Os números racionais, por exemplo, são equivalentes a fracções, que nos são familiares por cortarem bolos em festas de aniversário ou por dividirem a conta após o jantar num restaurante chique. Números irracionais são equivalentes a números decimais, sem repetição periódica de dígitos. São frequentemente obtidos tomando a raiz quadrada de alguns números naturais. Enquanto escrever infinitamente muitos dígitos de um número decimal ou tirar uma raiz quadrada de um número natural, como cinco, parece menos real do que cortar uma torta de pizza em oitavos ou 12 décimos, alguns números irracionais, como o pi, ainda podem ser combinados com um visual concreto. Pi é igual à razão entre a circunferência de um círculo e o diâmetro do mesmo círculo. Por outras palavras, se contarmos quantos passos nos leva a caminhar num círculo e voltar ao ponto de partida, então dividimos isso pelo número de passos que teríamos de dar para passar de um ponto do círculo para o ponto oposto numa linha recta que passa pelo centro, chegaríamos ao valor de pi. Este exemplo pode parecer elaborado, mas medir comprimentos ou volumes de objectos comuns também produz tipicamente números irracionais; a natureza raramente nos serve com inteiros perfeitos ou fracções exactas. Consequentemente, os números racionais e irracionais são colectivamente referidos como "números reais".
Os números negativos também podem parecer complicados: por exemplo, não existem "três ovos negativos". Ao mesmo tempo, se pensarmos neles como capturando o oposto ou o inverso de alguma quantidade, o mundo físico oferece mais uma vez exemplos. As cargas eléctricas negativas e positivas correspondem a um comportamento inequívoco e mensurável. Na escala centígrada, podemos ver a diferença entre a temperatura negativa e positiva, uma vez que a primeira corresponde ao gelo e não à água líquida. Em todo o quadro, então, com números reais positivos e negativos, podemos afirmar que os números são símbolos que simplesmente nos ajudam a manter o registo de propriedades físicas bem definidas e visíveis da natureza. Durante centenas de anos, foi essencialmente impossível fazer a mesma afirmação sobre números imaginários.
Na sua formulação matemática mais simples, os números imaginários são raízes quadradas de números negativos. Esta definição leva imediatamente a questionar a sua relevância física: se nos levar a dar um passo extra para perceber o significado dos números negativos no mundo real, como poderíamos eventualmente visualizar algo que permanece negativo quando multiplicado por si mesmo? Considere, por exemplo, o número +4. Pode ser obtido por quadratura de 2 ou pela sua contrapartida negativa -2. Como poderia -4 ser um quadrado quando 2 e -2 já estavam ambos determinados a produzir 4 ao quadrado? Os números imaginários oferecem uma resolução através da introdução da chamada unidade imaginária i, que é a raiz quadrada de -1. Agora, -4 é o quadrado de 2i ou -2i, emulando as propriedades de +4. Desta forma, os números imaginários são como uma imagem espelho de números reais: anexar i a qualquer número real permite-lhe produzir um quadrado exactamente o oposto daquele que estava a gerar antes.
Os matemáticos ocidentais começaram a lutar com números imaginários a sério em 1520, quando Scipione del Ferro, um professor da Universidade de Bolonha em Itália, se propôs resolver a chamada equação cúbica. Uma versão do desafio, mais tarde referida como o caso irreduzível, exigia tomar a raiz quadrada de um número negativo. Indo mais longe, no seu livro Ars Magna (1545), destinado a resumir todo o conhecimento algébrico da época, o astrónomo italiano Girolamo Cardano declarou que esta variedade da equação cúbica era impossível de resolver.
Quase 30 anos mais tarde, outro estudioso italiano, Rafael Bombelli, introduziu a unidade imaginária i mais formalmente. Ele referiu-se a ela como più di meno, ou "mais do menos", uma frase paradoxal em si mesma. Chamar estes números imaginários veio mais tarde, nos anos 1600, quando o filósofo René Descartes argumentou que, em geometria, qualquer estrutura correspondente a números imaginários deve ser impossível de visualizar ou desenhar. No século XIX, pensadores como Carl Friedrich Gauss e Leonhard Euler incluíram os números imaginários nos seus estudos. Discutiram números complexos compostos por um número real adicionado a um número imaginário, como o 3+4i, e descobriram que as funções matemáticas de valor complexo têm propriedades diferentes daquelas que apenas produzem números reais.
No entanto, ainda tinham dúvidas quanto às implicações filosóficas de tais funções existentes. O matemático francês Augustin-Louis Cauchy escreveu que estava a "abandonar" a unidade imaginária "sem arrependimento porque não sabemos o que significa este alegado simbolismo nem o significado a dar-lhe".
Na física, contudo, a estranheza dos números imaginários foi desconsiderada em favor da sua utilidade. Por exemplo, os números imaginários podem ser utilizados para descrever a oposição a mudanças de corrente dentro de um circuito eléctrico. São também utilizados para modelar algumas oscilações, tais como as encontradas nos relógios de avô, onde os pêndulos oscilam para trás e para a frente apesar da fricção. Números imaginários são necessários em muitas equações relativas a ondas, sejam vibrações de uma corda de guitarra rebentada ou ondulações de água ao longo de uma costa. E estes números escondem-se dentro de funções matemáticas de seno e coseno, familiares a muitos estudantes de trigonometria do ensino secundário.
Ao mesmo tempo, em todos estes casos, os números imaginários são utilizados mais como um dispositivo de contabilidade do que como um substituto para alguma parte fundamental da realidade física. Dispositivos de medição tais como relógios ou escalas nunca foram conhecidos para exibir valores imaginários. Os físicos normalmente separam as equações que contêm números imaginários das que não o fazem. Depois, tiram algumas conclusões de cada uma, tratando o infame i como não mais do que um índice ou um rótulo extra que ajuda a organizar este processo dedutivo. A menos que o físico em questão seja confrontado com o mundo minúsculo e frio da mecânica quântica.
A teoria quântica prevê o comportamento físico de objectos muito pequenos, tais como electrões que compõem correntes eléctricas em cada fio da sua casa, ou milhões de vezes mais frios do que o interior do seu frigorífico. E está cheio de números complexos e imaginários.
Emergindo nos anos 20, apenas cerca de uma década depois do trabalho de Albert Einstein sobre a relatividade geral e a natureza do espaço-tempo, a mecânica quântica complicou quase tudo o que os físicos pensavam saber sobre a utilização da matemática para descrever a realidade física. Uma grande perturbação foi a proposta de que os estados quânticos, a forma fundamental como os objectos que se comportam de acordo com as leis da mecânica quântica são descritos, são por defeito complexos. Por outras palavras, a descrição mais genérica e mais básica de qualquer coisa quântica inclui números imaginários.
Em contraste flagrante com as teorias sobre electricidade e oscilações, na mecânica quântica um físico não pode olhar para uma equação que envolve números imaginários, extrair uma linha de punção útil, depois esquecer tudo sobre eles. Quando se propõe tentar capturar um estado quântico na linguagem da matemática, estas raízes quadradas de números negativos, aparentemente impossíveis, são parte integrante do seu vocabulário. Eliminar números imaginários limitaria muito a precisão de uma afirmação que pudesse fazer.
A descoberta e o desenvolvimento da mecânica quântica melhoraram os números imaginários de um problema que procurava uma solução para uma solução que acabara de ser combinada com o seu problema. Como o físico e Prémio Nobel Roger Penrose observou na série documental Why Are We Here? (2017): "[Números imaginários] estiveram sempre presentes. Eles estão lá desde o início dos tempos. Estes números estão incorporados na forma como o mundo funciona ao mais pequeno e, se quiserem, ao nível mais básico".
O objecto complexo no coração de toda a mecânica quântica é a chamada função de onda. Reflecte uma verdade fundamental surpreendente descoberta pelos investigadores quânticos - que tudo, por mais sólido ou corpuscular que pareça, por vezes comporta-se como uma onda. E funciona também da outra forma: os electrões, o material das ondas, podem comportar-se como partículas.
Louis de Broglie especulou que talvez estas características aparentemente díspares, ondulatórias e corpusulares, formem uma união não só na luz mas em tudo', escreve Smitha Vishveshwara, física da Universidade de Illinois Urbana-Champaign no seu próximo livro, 'Two Revolutions': Einstein's Relativity and Quantum Physics'. 'Talvez o material de que somos feitos, que sabemos ser composto de partículas, possa ter traços ondulados', acrescenta, parafraseando a questão que levou os fundadores da teoria quântica a fazer com que a onda de valor complexo funcionasse como bloco fundamental do seu modelo de natureza.
Para determinar os detalhes exactos de uma função de onda quântica-mecânica que descreve algum objecto físico, por exemplo um electrão em movimento dentro de um metal, os investigadores voltam-se para a equação de Schrödinger. Com o nome do físico austríaco Erwin Schrödinger, outro arquitecto dos fundamentos da teoria quântica, esta equação é responsável não só pelo tipo de partícula minúscula que se está a tentar descrever, mas também pelo seu ambiente. Será que o electrão procura um estado menos energético e mais estável como uma bola a rolar por uma colina íngreme? Será que recebeu um "pontapé" energético e está consequentemente a executar um movimento rápido e complexo como uma bola de futebol atirada em espiral por um atleta muito forte? A forma matemática da equação de Schrödinger permite que esta informação seja tida em conta. Desta forma, a equação de Schrödinger é directamente informada pela realidade física imediata da partícula. No entanto, a sua solução é sempre a função de onda que contém inextricavelmente números imaginários. Até Schrödinger ficou perturbado com isto. Em 1926, escreveu ao seu colega Hendrik Lorentz, dizendo isso: "O que é desagradável aqui, e de facto directamente a ser contestado, é a utilização de números complexos".
Hoje, quase um século após Schrödinger ter manifestado pela primeira vez a sua preocupação, três equipas de físicos independentes encurralaram números imaginários nos seus laboratórios.
Na primeira experiência, investigadores da Universidade da Califórnia, Santa Barbara (UCSB) e da Universidade de Princeton foram atrás da própria função da onda quântica. O seu trabalho, publicado na revista Nature, demonstrou uma reconstrução inédita da função de onda quântica-mecânica a partir de uma medição laboratorial. Os investigadores estudaram experimentalmente como o material semicondutor arsenieto de gálio se comporta após ter sido exposto a um pulso de luz laser muito rápido. Mais especificamente, o arsenieto de gálio reemita alguma da luz que um laser lhe emite, e a equipa da UCSB foi capaz de mostrar que, notavelmente, as propriedades dessa luz dependem não só dos detalhes das funções de onda das partículas dentro do material, mas em particular das partes imaginárias dessas funções de onda.
Semi-condutores como o arsenieto de gálio ocupam o meio-termo entre os materiais condutores, onde os electrões formam rios de cargas móveis a que chamamos correntes, e isoladores, que se agarram aos seus electrões de tal forma que a formação de uma corrente é impossível. Num semicondutor, a maior parte dos electrões permanecem colocados, mas aqui e ali uns poucos podem começar a mover-se, constituindo pequenas correntes. Uma característica estranha deste tipo de condução é que cada electrão que consegue mover-se ganha automaticamente um parceiro - uma entidade parecida com uma partícula chamada 'buraco', que transporta carga eléctrica positiva. Se o electrão fosse uma gota de água num tanque, a existência e o movimento do buraco seria como a vaga deixada após a remoção da gota, ganhando uma vida própria. Tanto os electrões como os seus buracos parceiros seguem as regras da mecânica quântica, por isso a melhor maneira que os físicos têm de os descrever é anotar uma função de onda para cada um deles.
Uma parte importante de cada uma dessas funções de onda é a sua fase, que contém um número imaginário. Muitas vezes, reflecte interacções que uma partícula quântica pode ter experimentado enquanto viajava por algum caminho no espaço. Duas funções de onda podem sobrepor-se e combinar como duas ondas na superfície da água, e o padrão de ondulação resultante, que no caso quântico informa os cientistas de onde as partículas correspondentes a essas funções de onda são mais prováveis de estar, depende das fases das funções de onda. Na experiência UCSB e Princeton, as fases das funções de onda dos orifícios e electrões do arsenieto de gálio também ditaram que tipo de luz o material poderia voltar a emitir.
Para descobrir essa ligação, os investigadores começaram por dar um impulso energético aos electrões do material, brilhando um pulso rápido de luz laser quase infravermelha. Este impulso de energia fez com que os electrões se movessem através do material e criou os buracos que os acompanhavam. Os físicos utilizaram outro laser para separar brevemente os dois tipos de partículas. Após um curto período de movimento solitário através do semicondutor, os pares de electrões e de furos foram autorizados a reunir-se. Como ambas as partículas adquiriram energia enquanto se moviam sozinhas, a sua reunião resultou num clarão de luz. Os investigadores determinaram a fase de função de onda imaginária para os furos envolvidos neste processo medindo essa luz - que era uma entidade concreta no mundo natural.
Outros físicos, entretanto, questionam-se agora se as teorias podem ser reconfiguradas para evitar o aparente conflito entre o real e o imaginário. Nesta perspectiva, em vez de procurarem números imaginários no laboratório, os físicos apenas precisam de encontrar um sistema de rotulagem diferente, um sistema que exija apenas números reais. Este tipo de teoria é conhecido como "mecânica quântica real".
Historicamente, a mecânica quântica real tem tido não só defensores, mas também alguns sucessos no domínio das provas e investigações matemáticas. Os teóricos têm sido capazes de demonstrar que certas propriedades dos sistemas quântico-mecânicos podem de facto ser capturadas sem recorrer à imaginação. Contudo, no último ano, uma nova colheita de provas e experiências provou que esta linha de raciocínio só pode ir até certo ponto. Experiências de laboratório envolvendo computadores quânticos e luz quantificada indicam agora fortemente que números imaginários e complexos são uma parte indispensável do mundo quântico e, portanto, do nosso próprio mundo.
O trabalho teórico, liderado por físicos da Academia Austríaca de Ciências em Viena, e as experiências que o põem à prova em laboratórios tanto na Áustria como na China, abordam a questão através de uma espécie de jogo.
No estudo teórico, os "jogadores" são três físicos imaginários, Alice, Bob e Charlie, que utilizam estados quânticos como peças do jogo e uma série de operações quânticas sofisticadas como jogadas no jogo. No final do jogo, os três podem comparar notas sobre as propriedades que o seu estado quântico adquiriu durante o jogo. Os físicos de Viena mostraram que algumas conclusões nunca podem ser alcançadas sem números imaginários. Foi como se tivessem descoberto que a verdadeira teoria quântica não poderia ajudar um analista desportivo a prever que um jogador de basquetebol atirando com sucesso o cesto do arco de três pontos marcaria os três pontos completos da sua equipa.
Tais testes de jogo de teorias da natureza concorrentes são algo de uma tradição na mecânica quântica. Datam do físico da Irlanda do Norte John Bell que, nos anos 60, utilizou uma abordagem semelhante para provar que a própria mecânica quântica é verdadeiramente necessária para uma descrição exacta da natureza. Neste caso, os físicos confrontaram a mecânica quântica com a física clássica, que remonta a Isaac Newton, e descobriram que a primeira sempre se distinguiu na previsão dos resultados das suas experiências.
Esta abordagem, apelidada de teste Bell, incluía apenas dois 'jogadores', Alice e Bob, que não podiam fazer sentido dos seus resultados pós-jogo a menos que os vissem através da lente da teoria quântica. A física clássica, concluíram os investigadores, simplesmente não era a melhor descrição do mundo. Miguel Navascués, físico da Academia Austríaca de Ciências e co-autor de estudos experimentais e teóricos do novo jogo Bell, observou que o esforço da sua equipa forneceu uma forma de fazer exactamente a mesma avaliação das teorias quânticas de valor real e complexo. Se conseguir conduzir esta experiência", disse ele, "então terá refutado a física quântica de números reais".
Na experiência realizada na USTC, o jogo Bell teve lugar dentro de um computador quântico, onde unidades supercondutoras chamadas 'qubits' eram controladas por impulsos de microondas. Na experiência em que Navascués esteve envolvido, a arena era uma instalação óptica onde os investigadores trabalhavam com luz quântica - por outras palavras, um fluxo de fótons que podia ser alterado por feixes divisores e outro equipamento de laboratório.
Em qualquer dos casos, o resultado do jogo era impossível de prever com precisão por qualquer versão da física quântica que renunciasse a números complexos. Não só os físicos inferiram que os números imaginários podem de facto aparecer em experiências, mas que, ainda mais marcante, tinham de ser considerados para que as experiências no domínio quântico pudessem ser entendidas correctamente.
Os estudos aqui mencionados trazem implicações importantes para as ideias mais arrebatadoras e profundas sobre a mecânica quântica e a natureza da realidade física. São também marcos importantes para o desenvolvimento de novas tecnologias quânticas. A manipulação das funções das ondas e das fases da função das ondas é uma ferramenta importante na informação quântica e na computação quântica. Por conseguinte, a experiência da UCSB pode ajudar a avançar na concepção de dispositivos nesses campos. Se está a pensar construir qualquer tipo de dispositivo que tire partido da mecânica quântica, vai precisar de conhecer muito bem os seus parâmetros [da função das ondas]", sublinhou Joe Costello, estudante de doutoramento em física da UCSB e o autor principal do estudo, ao discutir o trabalho.
Do mesmo modo, quando os cientistas escrevem algoritmos que lidam com informação quântica, devem considerar se existem quaisquer vantagens em utilizar estados quânticos de valor complexo. Trabalhos recentes liderados pela USTC e Viena sugerem fortemente que a resposta é "sim". Os computadores quânticos acabarão por ultrapassar largamente os seus equivalentes convencionais, tornando o desenvolvimento das melhores práticas algorítmicas uma tarefa crítica. Quase cem anos depois de Schrödinger ter lamentado números imaginários, os físicos estão a descobrir que eles podem ser úteis de formas muito práticas.
No seu livro O Caminho para a Realidade (2004), Penrose escreve que: "No desenvolvimento de ideias matemáticas, uma importante força motriz inicial tem sido sempre encontrar estruturas matemáticas que espelham com precisão o comportamento do mundo físico". Desta forma, ele resume a trajectória da física teórica no seu conjunto. Notavelmente, acrescenta que "em muitos casos, este impulso de consistência matemática e elegância leva-nos a estruturas e conceitos matemáticos que acabam por espelhar o mundo físico de uma forma muito mais profunda e abrangente do que aqueles com que começámos". Os números imaginários transcenderam o seu lugar original como meros detentores de lugares, transformando a nossa compreensão da realidade e iluminando esta grande ideia.
A teoria quântica tem historicamente desafiado muitas suposições aparentemente de "senso comum" sobre a natureza. Mudou, por exemplo, a forma como os físicos pensam sobre a capacidade de um experimentador de medir algo com certeza, ou a afirmação de que os objectos só podem ser afectados por outros objectos no seu ambiente imediato. Quando a teoria quântica foi formulada pela primeira vez, escandalizou muitas luminárias da ciência da época, incluindo Einstein, que contribuiu ele próprio para os seus fundamentos. Trabalhar com ideias quânticas e picar sistemas quânticos, sempre veio, por defeito, com a possibilidade de desvendar algo inesperado na melhor das hipóteses e bizarro na pior das hipóteses. Agora a física quântica revelou que compreendíamos mal os números imaginários. Podem ter, durante algum tempo, parecido ser apenas um dispositivo mental que habitava as mentes de físicos e matemáticos, mas como o mundo real que habitamos é de facto quântico, não é surpresa que os números imaginários possam ser encontrados, muito claramente, dentro dele.
Muitos estudantes de ciências podem imaginar uma bola a rolar por uma colina ou um carro a derrapar devido à fricção como exemplos prototípicos dos sistemas com os quais os físicos se preocupam. Mas grande parte da física moderna consiste na procura de objectos e fenómenos que são virtualmente invisíveis: os minúsculos electrões da física quântica e as partículas escondidas dentro de metais estranhos da ciência dos materiais, juntamente com os seus equivalentes altamente energéticos que só existem brevemente dentro de colididores de partículas gigantes.
Na sua busca para compreender estes blocos de construção escondidos da realidade, os cientistas procuraram as teorias matemáticas e o formalismo. Idealmente, uma observação experimental inesperada leva um físico a uma nova teoria matemática, e depois um trabalho matemático sobre essa teoria leva-os a novas experiências e novas observações. Uma parte deste processo acontece inevitavelmente na mente do físico, onde símbolos e números ajudam a tornar visíveis ideias teóricas invisíveis no mundo físico tangível e mensurável.
Por vezes, contudo, como no caso dos números imaginários - ou seja, números com valores quadráticos negativos - a matemática consegue manter-se à frente das experiências durante muito tempo. Embora os números imaginários tenham sido parte integrante da teoria quântica desde o seu início nos anos 20, os cientistas só recentemente conseguiram encontrar as suas assinaturas físicas em experiências e provar empiricamente a sua necessidade.
Em Dezembro de 2021 e Janeiro de 2022, duas equipas de físicos, uma das quais uma colaboração internacional incluindo investigadores do Instituto de Óptica Quântica e Informação Quântica de Viena e da Universidade de Ciência e Tecnologia do Sul da China, e a outra liderada por cientistas da Universidade de Ciência e Tecnologia da China (USTC), mostraram que uma versão da mecânica quântica desprovida de números imaginários conduz a uma descrição defeituosa da natureza. Um mês antes, investigadores da Universidade da Califórnia, Santa Bárbara, reconstruíram uma função de onda quântica, outra quantidade que não pode ser totalmente descrita por números reais, a partir de dados experimentais. Em qualquer um dos casos, os físicos enganaram o mundo muito real que estudam para revelar propriedades outrora tão invisíveis a ponto de serem denominadas imaginárias.
Para a maioria das pessoas, a ideia de um número tem uma associação com a contagem. O número cinco pode lembrar a alguém os dedos na mão, que as crianças usam frequentemente como ajuda na contagem, enquanto que 12 pode fazê-lo pensar em comprar ovos. Durante décadas, os cientistas sustentam que alguns animais também utilizam números, exactamente porque muitas espécies, tais como chimpanzés ou golfinhos, desempenham bem em experiências que exigem a sua contagem.
A contagem tem os seus limites: apenas nos permite formular os chamados números naturais. Mas, desde os tempos antigos, os matemáticos sabem que também existem outros tipos de números. Os números racionais, por exemplo, são equivalentes a fracções, que nos são familiares por cortarem bolos em festas de aniversário ou por dividirem a conta após o jantar num restaurante chique. Números irracionais são equivalentes a números decimais, sem repetição periódica de dígitos. São frequentemente obtidos tomando a raiz quadrada de alguns números naturais. Enquanto escrever infinitamente muitos dígitos de um número decimal ou tirar uma raiz quadrada de um número natural, como cinco, parece menos real do que cortar uma torta de pizza em oitavos ou 12 décimos, alguns números irracionais, como o pi, ainda podem ser combinados com um visual concreto. Pi é igual à razão entre a circunferência de um círculo e o diâmetro do mesmo círculo. Por outras palavras, se contarmos quantos passos nos leva a caminhar num círculo e voltar ao ponto de partida, então dividimos isso pelo número de passos que teríamos de dar para passar de um ponto do círculo para o ponto oposto numa linha recta que passa pelo centro, chegaríamos ao valor de pi. Este exemplo pode parecer elaborado, mas medir comprimentos ou volumes de objectos comuns também produz tipicamente números irracionais; a natureza raramente nos serve com inteiros perfeitos ou fracções exactas. Consequentemente, os números racionais e irracionais são colectivamente referidos como "números reais".
Os números negativos também podem parecer complicados: por exemplo, não existem "três ovos negativos". Ao mesmo tempo, se pensarmos neles como capturando o oposto ou o inverso de alguma quantidade, o mundo físico oferece mais uma vez exemplos. As cargas eléctricas negativas e positivas correspondem a um comportamento inequívoco e mensurável. Na escala centígrada, podemos ver a diferença entre a temperatura negativa e positiva, uma vez que a primeira corresponde ao gelo e não à água líquida. Em todo o quadro, então, com números reais positivos e negativos, podemos afirmar que os números são símbolos que simplesmente nos ajudam a manter o registo de propriedades físicas bem definidas e visíveis da natureza. Durante centenas de anos, foi essencialmente impossível fazer a mesma afirmação sobre números imaginários.
Na sua formulação matemática mais simples, os números imaginários são raízes quadradas de números negativos. Esta definição leva imediatamente a questionar a sua relevância física: se nos levar a dar um passo extra para perceber o significado dos números negativos no mundo real, como poderíamos eventualmente visualizar algo que permanece negativo quando multiplicado por si mesmo? Considere, por exemplo, o número +4. Pode ser obtido por quadratura de 2 ou pela sua contrapartida negativa -2. Como poderia -4 ser um quadrado quando 2 e -2 já estavam ambos determinados a produzir 4 ao quadrado? Os números imaginários oferecem uma resolução através da introdução da chamada unidade imaginária i, que é a raiz quadrada de -1. Agora, -4 é o quadrado de 2i ou -2i, emulando as propriedades de +4. Desta forma, os números imaginários são como uma imagem espelho de números reais: anexar i a qualquer número real permite-lhe produzir um quadrado exactamente o oposto daquele que estava a gerar antes.
Os matemáticos ocidentais começaram a lutar com números imaginários a sério em 1520, quando Scipione del Ferro, um professor da Universidade de Bolonha em Itália, se propôs resolver a chamada equação cúbica. Uma versão do desafio, mais tarde referida como o caso irreduzível, exigia tomar a raiz quadrada de um número negativo. Indo mais longe, no seu livro Ars Magna (1545), destinado a resumir todo o conhecimento algébrico da época, o astrónomo italiano Girolamo Cardano declarou que esta variedade da equação cúbica era impossível de resolver.
Quase 30 anos mais tarde, outro estudioso italiano, Rafael Bombelli, introduziu a unidade imaginária i mais formalmente. Ele referiu-se a ela como più di meno, ou "mais do menos", uma frase paradoxal em si mesma. Chamar estes números imaginários veio mais tarde, nos anos 1600, quando o filósofo René Descartes argumentou que, em geometria, qualquer estrutura correspondente a números imaginários deve ser impossível de visualizar ou desenhar. No século XIX, pensadores como Carl Friedrich Gauss e Leonhard Euler incluíram os números imaginários nos seus estudos. Discutiram números complexos compostos por um número real adicionado a um número imaginário, como o 3+4i, e descobriram que as funções matemáticas de valor complexo têm propriedades diferentes daquelas que apenas produzem números reais.
No entanto, ainda tinham dúvidas quanto às implicações filosóficas de tais funções existentes. O matemático francês Augustin-Louis Cauchy escreveu que estava a "abandonar" a unidade imaginária "sem arrependimento porque não sabemos o que significa este alegado simbolismo nem o significado a dar-lhe".
Na física, contudo, a estranheza dos números imaginários foi desconsiderada em favor da sua utilidade. Por exemplo, os números imaginários podem ser utilizados para descrever a oposição a mudanças de corrente dentro de um circuito eléctrico. São também utilizados para modelar algumas oscilações, tais como as encontradas nos relógios de avô, onde os pêndulos oscilam para trás e para a frente apesar da fricção. Números imaginários são necessários em muitas equações relativas a ondas, sejam vibrações de uma corda de guitarra rebentada ou ondulações de água ao longo de uma costa. E estes números escondem-se dentro de funções matemáticas de seno e coseno, familiares a muitos estudantes de trigonometria do ensino secundário.
Ao mesmo tempo, em todos estes casos, os números imaginários são utilizados mais como um dispositivo de contabilidade do que como um substituto para alguma parte fundamental da realidade física. Dispositivos de medição tais como relógios ou escalas nunca foram conhecidos para exibir valores imaginários. Os físicos normalmente separam as equações que contêm números imaginários das que não o fazem. Depois, tiram algumas conclusões de cada uma, tratando o infame i como não mais do que um índice ou um rótulo extra que ajuda a organizar este processo dedutivo. A menos que o físico em questão seja confrontado com o mundo minúsculo e frio da mecânica quântica.
A teoria quântica prevê o comportamento físico de objectos muito pequenos, tais como electrões que compõem correntes eléctricas em cada fio da sua casa, ou milhões de vezes mais frios do que o interior do seu frigorífico. E está cheio de números complexos e imaginários.
Emergindo nos anos 20, apenas cerca de uma década depois do trabalho de Albert Einstein sobre a relatividade geral e a natureza do espaço-tempo, a mecânica quântica complicou quase tudo o que os físicos pensavam saber sobre a utilização da matemática para descrever a realidade física. Uma grande perturbação foi a proposta de que os estados quânticos, a forma fundamental como os objectos que se comportam de acordo com as leis da mecânica quântica são descritos, são por defeito complexos. Por outras palavras, a descrição mais genérica e mais básica de qualquer coisa quântica inclui números imaginários.
Em contraste flagrante com as teorias sobre electricidade e oscilações, na mecânica quântica um físico não pode olhar para uma equação que envolve números imaginários, extrair uma linha de punção útil, depois esquecer tudo sobre eles. Quando se propõe tentar capturar um estado quântico na linguagem da matemática, estas raízes quadradas de números negativos, aparentemente impossíveis, são parte integrante do seu vocabulário. Eliminar números imaginários limitaria muito a precisão de uma afirmação que pudesse fazer.
A descoberta e o desenvolvimento da mecânica quântica melhoraram os números imaginários de um problema que procurava uma solução para uma solução que acabara de ser combinada com o seu problema. Como o físico e Prémio Nobel Roger Penrose observou na série documental Why Are We Here? (2017): "[Números imaginários] estiveram sempre presentes. Eles estão lá desde o início dos tempos. Estes números estão incorporados na forma como o mundo funciona ao mais pequeno e, se quiserem, ao nível mais básico".
O objecto complexo no coração de toda a mecânica quântica é a chamada função de onda. Reflecte uma verdade fundamental surpreendente descoberta pelos investigadores quânticos - que tudo, por mais sólido ou corpuscular que pareça, por vezes comporta-se como uma onda. E funciona também da outra forma: os electrões, o material das ondas, podem comportar-se como partículas.
Louis de Broglie especulou que talvez estas características aparentemente díspares, ondulatórias e corpusulares, formem uma união não só na luz mas em tudo', escreve Smitha Vishveshwara, física da Universidade de Illinois Urbana-Champaign no seu próximo livro, 'Two Revolutions': Einstein's Relativity and Quantum Physics'. 'Talvez o material de que somos feitos, que sabemos ser composto de partículas, possa ter traços ondulados', acrescenta, parafraseando a questão que levou os fundadores da teoria quântica a fazer com que a onda de valor complexo funcionasse como bloco fundamental do seu modelo de natureza.
Para determinar os detalhes exactos de uma função de onda quântica-mecânica que descreve algum objecto físico, por exemplo um electrão em movimento dentro de um metal, os investigadores voltam-se para a equação de Schrödinger. Com o nome do físico austríaco Erwin Schrödinger, outro arquitecto dos fundamentos da teoria quântica, esta equação é responsável não só pelo tipo de partícula minúscula que se está a tentar descrever, mas também pelo seu ambiente. Será que o electrão procura um estado menos energético e mais estável como uma bola a rolar por uma colina íngreme? Será que recebeu um "pontapé" energético e está consequentemente a executar um movimento rápido e complexo como uma bola de futebol atirada em espiral por um atleta muito forte? A forma matemática da equação de Schrödinger permite que esta informação seja tida em conta. Desta forma, a equação de Schrödinger é directamente informada pela realidade física imediata da partícula. No entanto, a sua solução é sempre a função de onda que contém inextricavelmente números imaginários. Até Schrödinger ficou perturbado com isto. Em 1926, escreveu ao seu colega Hendrik Lorentz, dizendo isso: "O que é desagradável aqui, e de facto directamente a ser contestado, é a utilização de números complexos".
Hoje, quase um século após Schrödinger ter manifestado pela primeira vez a sua preocupação, três equipas de físicos independentes encurralaram números imaginários nos seus laboratórios.
Na primeira experiência, investigadores da Universidade da Califórnia, Santa Barbara (UCSB) e da Universidade de Princeton foram atrás da própria função da onda quântica. O seu trabalho, publicado na revista Nature, demonstrou uma reconstrução inédita da função de onda quântica-mecânica a partir de uma medição laboratorial. Os investigadores estudaram experimentalmente como o material semicondutor arsenieto de gálio se comporta após ter sido exposto a um pulso de luz laser muito rápido. Mais especificamente, o arsenieto de gálio reemita alguma da luz que um laser lhe emite, e a equipa da UCSB foi capaz de mostrar que, notavelmente, as propriedades dessa luz dependem não só dos detalhes das funções de onda das partículas dentro do material, mas em particular das partes imaginárias dessas funções de onda.
Semi-condutores como o arsenieto de gálio ocupam o meio-termo entre os materiais condutores, onde os electrões formam rios de cargas móveis a que chamamos correntes, e isoladores, que se agarram aos seus electrões de tal forma que a formação de uma corrente é impossível. Num semicondutor, a maior parte dos electrões permanecem colocados, mas aqui e ali uns poucos podem começar a mover-se, constituindo pequenas correntes. Uma característica estranha deste tipo de condução é que cada electrão que consegue mover-se ganha automaticamente um parceiro - uma entidade parecida com uma partícula chamada 'buraco', que transporta carga eléctrica positiva. Se o electrão fosse uma gota de água num tanque, a existência e o movimento do buraco seria como a vaga deixada após a remoção da gota, ganhando uma vida própria. Tanto os electrões como os seus buracos parceiros seguem as regras da mecânica quântica, por isso a melhor maneira que os físicos têm de os descrever é anotar uma função de onda para cada um deles.
Uma parte importante de cada uma dessas funções de onda é a sua fase, que contém um número imaginário. Muitas vezes, reflecte interacções que uma partícula quântica pode ter experimentado enquanto viajava por algum caminho no espaço. Duas funções de onda podem sobrepor-se e combinar como duas ondas na superfície da água, e o padrão de ondulação resultante, que no caso quântico informa os cientistas de onde as partículas correspondentes a essas funções de onda são mais prováveis de estar, depende das fases das funções de onda. Na experiência UCSB e Princeton, as fases das funções de onda dos orifícios e electrões do arsenieto de gálio também ditaram que tipo de luz o material poderia voltar a emitir.
Para descobrir essa ligação, os investigadores começaram por dar um impulso energético aos electrões do material, brilhando um pulso rápido de luz laser quase infravermelha. Este impulso de energia fez com que os electrões se movessem através do material e criou os buracos que os acompanhavam. Os físicos utilizaram outro laser para separar brevemente os dois tipos de partículas. Após um curto período de movimento solitário através do semicondutor, os pares de electrões e de furos foram autorizados a reunir-se. Como ambas as partículas adquiriram energia enquanto se moviam sozinhas, a sua reunião resultou num clarão de luz. Os investigadores determinaram a fase de função de onda imaginária para os furos envolvidos neste processo medindo essa luz - que era uma entidade concreta no mundo natural.
Outros físicos, entretanto, questionam-se agora se as teorias podem ser reconfiguradas para evitar o aparente conflito entre o real e o imaginário. Nesta perspectiva, em vez de procurarem números imaginários no laboratório, os físicos apenas precisam de encontrar um sistema de rotulagem diferente, um sistema que exija apenas números reais. Este tipo de teoria é conhecido como "mecânica quântica real".
Historicamente, a mecânica quântica real tem tido não só defensores, mas também alguns sucessos no domínio das provas e investigações matemáticas. Os teóricos têm sido capazes de demonstrar que certas propriedades dos sistemas quântico-mecânicos podem de facto ser capturadas sem recorrer à imaginação. Contudo, no último ano, uma nova colheita de provas e experiências provou que esta linha de raciocínio só pode ir até certo ponto. Experiências de laboratório envolvendo computadores quânticos e luz quantificada indicam agora fortemente que números imaginários e complexos são uma parte indispensável do mundo quântico e, portanto, do nosso próprio mundo.
O trabalho teórico, liderado por físicos da Academia Austríaca de Ciências em Viena, e as experiências que o põem à prova em laboratórios tanto na Áustria como na China, abordam a questão através de uma espécie de jogo.
Tais testes de jogo de teorias da natureza concorrentes são algo de uma tradição na mecânica quântica. Datam do físico da Irlanda do Norte John Bell que, nos anos 60, utilizou uma abordagem semelhante para provar que a própria mecânica quântica é verdadeiramente necessária para uma descrição exacta da natureza. Neste caso, os físicos confrontaram a mecânica quântica com a física clássica, que remonta a Isaac Newton, e descobriram que a primeira sempre se distinguiu na previsão dos resultados das suas experiências.
Esta abordagem, apelidada de teste Bell, incluía apenas dois 'jogadores', Alice e Bob, que não podiam fazer sentido dos seus resultados pós-jogo a menos que os vissem através da lente da teoria quântica. A física clássica, concluíram os investigadores, simplesmente não era a melhor descrição do mundo. Miguel Navascués, físico da Academia Austríaca de Ciências e co-autor de estudos experimentais e teóricos do novo jogo Bell, observou que o esforço da sua equipa forneceu uma forma de fazer exactamente a mesma avaliação das teorias quânticas de valor real e complexo. Se conseguir conduzir esta experiência", disse ele, "então terá refutado a física quântica de números reais".
Na experiência realizada na USTC, o jogo Bell teve lugar dentro de um computador quântico, onde unidades supercondutoras chamadas 'qubits' eram controladas por impulsos de microondas. Na experiência em que Navascués esteve envolvido, a arena era uma instalação óptica onde os investigadores trabalhavam com luz quântica - por outras palavras, um fluxo de fótons que podia ser alterado por feixes divisores e outro equipamento de laboratório.
Em qualquer dos casos, o resultado do jogo era impossível de prever com precisão por qualquer versão da física quântica que renunciasse a números complexos. Não só os físicos inferiram que os números imaginários podem de facto aparecer em experiências, mas que, ainda mais marcante, tinham de ser considerados para que as experiências no domínio quântico pudessem ser entendidas correctamente.
Do mesmo modo, quando os cientistas escrevem algoritmos que lidam com informação quântica, devem considerar se existem quaisquer vantagens em utilizar estados quânticos de valor complexo. Trabalhos recentes liderados pela USTC e Viena sugerem fortemente que a resposta é "sim". Os computadores quânticos acabarão por ultrapassar largamente os seus equivalentes convencionais, tornando o desenvolvimento das melhores práticas algorítmicas uma tarefa crítica. Quase cem anos depois de Schrödinger ter lamentado números imaginários, os físicos estão a descobrir que eles podem ser úteis de formas muito práticas.
No seu livro O Caminho para a Realidade (2004), Penrose escreve que: "No desenvolvimento de ideias matemáticas, uma importante força motriz inicial tem sido sempre encontrar estruturas matemáticas que espelham com precisão o comportamento do mundo físico". Desta forma, ele resume a trajectória da física teórica no seu conjunto. Notavelmente, acrescenta que "em muitos casos, este impulso de consistência matemática e elegância leva-nos a estruturas e conceitos matemáticos que acabam por espelhar o mundo físico de uma forma muito mais profunda e abrangente do que aqueles com que começámos". Os números imaginários transcenderam o seu lugar original como meros detentores de lugares, transformando a nossa compreensão da realidade e iluminando esta grande ideia.
A teoria quântica tem historicamente desafiado muitas suposições aparentemente de "senso comum" sobre a natureza. Mudou, por exemplo, a forma como os físicos pensam sobre a capacidade de um experimentador de medir algo com certeza, ou a afirmação de que os objectos só podem ser afectados por outros objectos no seu ambiente imediato. Quando a teoria quântica foi formulada pela primeira vez, escandalizou muitas luminárias da ciência da época, incluindo Einstein, que contribuiu ele próprio para os seus fundamentos. Trabalhar com ideias quânticas e picar sistemas quânticos, sempre veio, por defeito, com a possibilidade de desvendar algo inesperado na melhor das hipóteses e bizarro na pior das hipóteses. Agora a física quântica revelou que compreendíamos mal os números imaginários. Podem ter, durante algum tempo, parecido ser apenas um dispositivo mental que habitava as mentes de físicos e matemáticos, mas como o mundo real que habitamos é de facto quântico, não é surpresa que os números imaginários possam ser encontrados, muito claramente, dentro dele.
No comments:
Post a Comment